逆向归纳法（Backward Induction）
逆向归纳法是一种常用于动态博弈的求解方法，核心思想是从博弈的最后阶段开始推导，逐步回溯，找到最优策略。
这种方法通常用于有限步博弈（finite games），尤其是在完全信息动态博弈中，即所有参与者都知道游戏规则和其他玩家的可能选择。
逆向归纳法的基本步骤
1. 从最后一步开始分析：假设已经到达博弈的最后一个决策节点，找出在此节点上每个玩家的最优策略。
2. 回溯至前一步：假设前一个决策者知道后续的最优选择，并据此做出最优决策。
3. 重复以上过程，直至回溯到起点：最终得出的策略就是整个博弈的最优均衡解。
案例分析
1. 终局博弈（Ultimatum Game）
假设有两个玩家：
? A玩家分配100元，决定给B玩家多少钱（整数）。
? B玩家可以选择接受（Accept）或拒绝（Reject）：
? 如果接受，双方按A的分配拿钱。
? 如果拒绝，双方都拿不到钱。
逆向归纳分析
1. B的决策（最后一步）：
? 如果B接受，他能获得分配到的钱。
? 如果B拒绝，双方都拿不到钱。
? 理性B玩家应接受任何非零金额，因为比0更好。
2. A的决策（回溯）：
? A知道B会接受任何非零金额，所以A的最优策略是给B最少的钱（如1元），自己拿99元。
结论：A分1元，B接受，这是均衡策略。
2. 进入威胁博弈（Entry Deterrence Game）
假设一个新企业（E）考虑进入市场，而已有企业（I）可以选择降价竞争（Fierce）或维持高价（Acmodate）。
博弈树
1. E决定是否进入市场：
? 进入（Enter）
? 不进入（Stay Out）
2. 如果E进入，I决定策略：
? 降价（Fierce）：I 和 E 都亏损 -10。
? 高价（Acmodate）：I赚10，E赚5。
? E不进入（Stay Out）：I独占市场，赚15，E赚0。
逆向归纳分析
1. I的决策（最后一步）：
? 如果E已进入，I在降价（-10）和高价（10）之间选择，高价更优，所以I会选择高价。
2. E的决策（回溯）：
? 知道I不会降价，E进入后可以赚5（比0好），所以E会进入市场。
结论：E进入，I维持高价，这是均衡策略。
3. 百吉饼博弈（Centipede Game）
假设有两个玩家轮流决定**“拿走（Take）”还是“继续（Pass）”**奖金池：
? 初始奖金池2元，每轮增加。
? 如果某人“拿走”，他获得大部分奖金，另一个人获得少部分。
? 游戏最多持续4轮。
逆向归纳分析
1. 最后一轮：
? 若轮到玩家B，他会“拿走”，因为这是他的最后机会。
2. 倒数第二轮：
? 玩家A知道B会在下一轮拿走，因此他会在这一轮就拿走。
3. 第三轮：
? 玩家B知道A会在下一轮拿走，因此他会在这一轮就拿走。
4. 回溯至第一轮：
? A知道B在下一轮会拿走，所以A在第一轮就拿走。
结论：尽管合作能让奖金池增大，但完全理性玩家会在第一轮就终止游戏。
总结
? 逆向归纳法适用于有限步动态博弈，从最后一步开始推导。
? 它能帮助玩家预见对手的最优策略，做出最优决策。
? 适用于终局博弈、市场进入、谈判、竞标等策略决策。
逆向归纳法的应用
逆向归纳法广泛应用于经济、商业、政治、军事、人工智能等领域，特别适用于动态决策问题，即决策者的选择会影响未来的结果。以下是几个典型的应用场景：
1. 经济与商业
(1) 定价策略
企业在制定长期定价策略时，会考虑竞争对手的反应。例如：
? 掠夺性定价（Predatory Pricing）：
? 大企业A希望阻止小企业B进入市场。
? A可以选择降价打压，B需要决定是否进入市场。
? 通过逆向归纳分析，小企业B会预见A会在自己进入后降价，因此可能选择不进入。
(2) 竞标与拍卖
在**竞标（如政府采购、广告投放）**中，企业需要预测对手的策略：
? 逆向归纳法帮助竞标者推演最后的竞争结果，从而确定最优出价策略。